Rieth József: Anyagvilág - Háttérismeret
Tartalomjegyzékhez < Világképem < Anyagelőtti
A halmaz a matematika egyik legalapvetőbb fogalma, melyet leginkább az „összesség”, „sokaság” szavakkal tudunk körülírni; de mivel igazából alapfogalom; így nem tartjuk definiálandónak. A halmazok általános tulajdonságaival a matematika egyik ága, a halmazelmélet foglalkozik.
A modern matematika alapvető, egységes tárgyalásmódot és számos tudományos eredményt hozó hozzáállását fejezi ki az a kijelentés, miszerint végső soron minden, a matematika által vizsgált dolog: halmaz. Szakszerűbben fogalmazva, a matematika teljes egészének, de legalábbis minden hagyományosan vizsgált területének (számelmélet, geometria, valószínűségszámítás stb.) megadható a halmazelméleti modellje. Így, annak ellenére, hogy a halmazelmélet csak a 19. században fejlődött ki, mára a modern matematika minden ágának ez a tudományág (a matematikai logika mellett) az alapja. A matematikának ez a jelenleg is uralkodó „halmazelméleti” paradigmája elsősorban a huszadik században működő matematikustársaság, a Bourbaki-csoport munkásságának köszönhető. A halmazelméleti ismeretek az elemi iskolai matematika részét is képezik.
A matematikán belül kettős szerepe van. Mint önálló tudomány, elsősorban a végtelen sok elemű matematikai összességek mennyiségi viszonyaival foglalkozik (számosságaritmetika), ti. hogy hogyan lehet a véges (egész) számokra megszokott aritmetikai és algebrai törvényeket a végtelen számosságokra átvinni, illetve utóbbiak körében milyen új törvényszerűségek érvényesülnek; ezzel összefüggésben azonban a matematikai logikai és struktúraelméleti (pl. topológiai) módszerekhez hasonlatos eszközökkel, a végtelen halmazok elméletének matematikai megalapozására irányuló vizsgálatokat is folytat.
Mint (egy bizonyos értelemben) alkalmazott tudomány, a halmazelmélet felhasználható gyakorlatilag a teljes matematika megalapozására. Ez mutatja a halmazelmélet alapvető jelentőségét (lásd még: matematikafilozófia).
A halmazelméletben mindent le lehet írni két kifejezéssel. Az egyik a „halmaz”, a másik az a kijelentés, hogy egy adott dolog „eleme” egy halmaznak. Ezek a halmazelmélet alapfogalmai.
A halmazelmélet alapkoncepciói
1 Tulajdonságok és igazságtartományok
2 A végtelen halmazelméleti fogalma
3 A matematika halmazelméleti létrehozása
4 Túl nagy összességek
Halmazműveletek (vázlatosan)
2 Metszet
3 Kivonás
4 Komplementerképzés
5 Párképzés
6 Descartes-szorzat vagy direkt szorzat
7 Halmazelméleti függvény
Ha A és B halmazok, akkor
AUB
jelöli azon elemek összességét, melyek A illetve B közül legalább az egyikben benne vannak. (lásd jobbra)
Ha A, B halmazok, akkor
A∩B
jelöli a metszetüket, vagy közös részüket, azaz azt a halmazt, ami pontosan A és B közös elemeit tartalmazza. (lásd balra)
Egy A és egy B halmaz különbségét a
A\B
művelettel képezzük, elemei pontosan azok, amelyek elemei A-nak, de nem elemei B-nek. (lásd jobbra)
A halmazelmélet eredeti és korai formája, a naiv halmazelmélet, ellentmondásosnak bizonyult. Ezért a matematikusok létrehoztak más, különféle axiómarendszerekre épülő, ún. axiomatikus halmazelméleteket is.
Tartalomjegyzékhez < Világképem < Anyagelőtti
-------------------
http://hu.wikipedia.org/wiki/Halmaz
http://hu.wikipedia.org/wiki/Halmazelm%C3%A9let